Đề thi Toán 11 Học kì 2 - Đề 02

I

Trắc nghiệm khách quan (4.0 điểm)

II

Trắc nghiệm Đúng/Sai (2.0 điểm)

III

Trả lời ngắn (2.0 điểm)

IV

Tự luận Hình học (2.0 điểm)

Bài toán:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $BA = BC = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$.

Chứng minh đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.
Tính số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$.
Chứng minh $AH \perp (SBC)$ và tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Hướng dẫn giải chi tiết (Tự đối chiếu):

a) Ta có $BC \perp AB$ (giả thiết vuông tại $B$) và $BC \perp SA$ (do $SA \perp (ABC)$). Suy ra $BC \perp (SAB)$.

b) Do $SA \perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$. Góc là $\angle SCA$.
Xét $\triangle ABC$: $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Xét $\triangle SAC$: $\tan \angle SCA = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \angle SCA = 45^\circ$.

c) Vì $BC \perp (SAB)$ và $AH \subset (SAB) \Rightarrow BC \perp AH$.
Mà $AH \perp SB$ (giả thiết). Suy ra $AH \perp (SBC)$.
Khoảng cách $d(A, (SBC)) = AH = \frac{SA \cdot AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a}{\sqrt{2a^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.