Đề thi học kì 2 - Toán lớp 11

a) Ta có $BC \perp AB$ (do $ABCD$ là hình vuông) và $BC \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$). Suy ra $BC \perp (SAB)$. Mà $BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \perp (SAB)$.

b) Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy. Góc cần tìm là $\angle SCA$. Trong $\triangle SAC$ vuông tại $A$: $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông). Có $SA = a\sqrt{2} \Rightarrow \tan \angle SCA = \frac{SA}{AC} = 1 \Rightarrow \angle SCA = 45^\circ$.

c) Gọi $O = AC \cap BD$. Kẻ $AH \perp SO$ tại $H$. Ta chứng minh được $AH \perp (SBD)$. Khoảng cách là $AH = \frac{SA \cdot AO}{\sqrt{SA^2 + AO^2}} = \frac{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2a^2 + \frac{a^2}{2}}} = \frac{a\sqrt{10}}{5}$.