Hoàn thành bảng đổi số đo giữa đơn vị độ và đơn vị radian sau đây:
Hãy nhập nháp câu trả lời của các em trực tiếp vào các ô trống dưới bảng
| Số đo độ ($a^\circ$) | $15^\circ$ | $0^\circ$ | $900^\circ$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số đo radian ($\alpha$) | $\frac{3\pi}{8}$ | $-\frac{7\pi}{12}$ | $-\frac{11\pi}{8}$ |
Một đường tròn có bán kính $R = 20 \text{ cm}$. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
Trên đường tròn lượng giác gốc $A$, xác định vị trí góc phần tư của điểm $M$ biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha$, điền nháp câu trả lời dưới đây:
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau vào vở và ghi chú tóm tắt hướng chứng minh của em:
Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được $11$ vòng trong $5$ giây.
Đối Chiếu Kết Quả Luyện Tập
Hãy đối chiếu từng câu nháp dưới đây với lời giải chính thức của Thầy Nguyễn Quốc Tùng.
Hoàn thành bảng đổi số đo giữa đơn vị độ và đơn vị radian sau đây:
| Số đo độ ($a^\circ$) | $15^\circ$ | $67,5^\circ$ | $0^\circ$ | $900^\circ$ | $-105^\circ$ | $-247,5^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số đo radian ($\alpha$) | $\frac{\pi}{12}$ | $\frac{3\pi}{8}$ | $0$ | $5\pi$ | $-\frac{7\pi}{12}$ | $-\frac{11\pi}{8}$ |
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta áp dụng công thức chuyển đổi từ đơn vị độ sang đơn vị radian
$$\alpha \text{ (rad)} = a^\circ \cdot \frac{\pi}{180}$$
Ta áp dụng công thức chuyển đổi ngược từ đơn vị radian sang đơn vị độ
$$a^\circ = \alpha \cdot \frac{180}{\pi}$$
Đối với cột mười lăm độ ta đổi sang radian thu được một phần mười hai pi
Đối với cột ba pi phần tám radian ta đổi sang độ thu được sáu mươi sáu phẩy năm độ
Đối với cột không độ ta đổi sang radian thu được không
Đối với cột chín trăm độ ta đổi sang radian thu được năm pi
Đối với cột âm bảy pi phần mười hai radian ta đổi sang độ thu được âm một trăm linh năm độ
Đối với cột âm mười một pi phần tám radian ta đổi sang độ thu được âm hai trăm bốn mươi bảy phẩy năm độ
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta áp dụng công thức xác định độ dài cung tròn s khi biết bán kính và số đo góc lượng giác tương ứng bằng radian
$$s = R \cdot \alpha$$
Đối với trường hợp a ta thay số trực tiếp với bán kính hai mươi centimet và số đo pi phần mười hai radian thu được độ dài cung bằng năm pi phần ba centimet
$$s = 20 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{3} \approx 5,24 \text{ (cm)}$$
Đối với trường hợp b ta thế số trực tiếp với bán kính hai mươi centimet và số đo một phẩy năm radian thu được độ dài cung bằng ba mươi centimet
$$s = 20 \cdot 1,5 = 30 \text{ (cm)}$$
Đối với trường hợp c ta thực hiện quy đổi ba mươi lăm độ sang radian trước rồi nhân với bán kính hai mươi centimet thu được độ dài cung bằng ba mươi lăm pi phần chín centimet
$$\alpha = 35 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{36} \text{ (rad)} \implies s = 20 \cdot \frac{7\pi}{36} = \frac{35\pi}{9} \approx 12,22 \text{ (cm)}$$
Đối với trường hợp d ta đổi ba trăm mười lăm độ sang đơn vị radian rồi nhân bán kính hai mươi centimet thu được kết quả độ dài cung bằng ba mươi lăm pi centimet
$$\alpha = 315 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{4} \text{ (rad)} \implies s = 20 \cdot \frac{7\pi}{4} = 35\pi \approx 109,96 \text{ (cm)}$$
Hướng dẫn giải chi tiết
Trường hợp a) Góc $\frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$)
Biểu diễn góc hai pi chia ba tương đương một trăm hai mươi độ bằng điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác OA quay ngược chiều kim đồng hồ tạo với OM góc một trăm hai mươi độ
Trường hợp b) Góc $-\frac{11\pi}{4}$
Biểu diễn góc âm mười một pi phần bốn bằng cách tách thành âm hai pi trừ ba pi phần tư nên điểm biểu diễn trùng hoàn toàn với điểm biểu diễn góc âm ba pi phần tư nằm ở chính giữa góc phần tư thứ ba
Trường hợp c) Góc $150^\circ$
Biểu diễn góc một trăm năm mươi độ tương đương năm pi chia sáu bằng điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai trên đường tròn lượng giác sao cho tia OM tạo với chiều dương trục hoành góc một trăm năm mươi độ
Trường hợp d) Góc $-225^\circ$
Biểu diễn góc âm hai trăm hai mươi lăm độ bằng điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai trùng khớp hoàn toàn với điểm biểu diễn của góc dương một trăm ba mươi lăm độ do quay cùng chiều kim đồng hồ một góc hai trăm hai mươi lăm độ
Hướng dẫn giải chi tiết
Trường hợp a với góc thuộc góc phần tư thứ nhất ta có các giá trị lượng giác đều dương nên tìm được sin bằng hai căn sáu chia năm từ đó tính được tang bằng hai căn sáu và cotang bằng căn sáu chia mười hai
$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \implies \tan \alpha = 2\sqrt{6}, \cot \alpha = \frac{\sqrt{6}}{12}$$
Trường hợp b với góc thuộc góc phần tư thứ hai ta có giá trị cosin mang dấu âm nên tính được cosin bằng âm căn năm chia ba từ đó tìm được tang bằng âm hai căn năm chia năm và cotang bằng âm căn năm chia hai
$$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \implies \tan \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \cot \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Trường hợp c với góc thuộc góc phần tư thứ ba ta có cả sin và cosin đều âm nên tính được cotang bằng căn năm chia năm từ đó tìm được cosin bằng âm căn sáu chia sáu và sin bằng âm căn ba mươi chia sáu
$$\cot \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}; \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + 5} = \frac{1}{6} \implies \cos \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{6}, \sin \alpha = -\frac{\sqrt{30}}{6}$$
Trường hợp d với góc thuộc góc phần tư thứ tư ta có sin âm và cosin dương nên tìm được tang bằng âm căn hai từ đó tính được sin bằng âm căn sáu chia ba và cosin bằng căn ba chia ba
$$\tan \alpha = -\sqrt{2}; \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + 0,5} = \frac{2}{3} \implies \sin \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}, \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Hướng dẫn giải chi tiết
Để chứng minh đẳng thức thứ nhất ta phân tích vế trái bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương rồi áp dụng hệ thức sin bình cộng cos bình bằng một để đưa biểu thức về hai cos bình trừ một hoàn toàn trùng khớp vế phải
$$\text{VT} = \left(\cos^2 a - \sin^2 a\right)\left(\cos^2 a + \sin^2 a\right) = \cos^2 a - \sin^2 a = \cos^2 a - \left(1 - \cos^2 a\right) = 2\cos^2 a - 1 = \text{VP}$$
Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta nhóm cos bình trừ một bằng âm sin bình thế vào vế trái rồi chia cả tử và mẫu cho sin bình phương từ đó biến đổi phân số lượng giác thu được tang bình phương hoàn toàn trùng khớp vế phải
$$\text{VT} = \frac{\tan^2 \alpha - \left(1 - \cos^2 \alpha\right)}{\sin^2 \alpha} = \frac{\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\tan^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \tan^2 \alpha = \text{VP}$$
Hướng dẫn giải chi tiết
Ý thứ nhất ta tính số vòng quay trong một giây bằng mười một chia năm được hai phẩy hai vòng từ đó tính được góc quay bằng bảy trăm chín mươi hai độ hoặc bốn phẩy hai pi radian
$$\alpha = 2,2 \cdot 360^\circ = 792^\circ; \quad \alpha = 2,2 \cdot 2\pi = 4,4\pi \text{ (rad)}$$
Ý thứ hai ta tính chu vi bánh xe bằng không phẩy sáu mươi tám pi mét rồi nhân với tổng số vòng quay trong một phút là một trăm ba mươi hai vòng thu được quãng đường xấp xỉ hai trăm tám mươi mốt phẩy chín mươi chín mét
$$C = \pi \cdot 0,68 \text{ (m)} \implies s = 132 \cdot 0,68\pi \approx 281,99 \text{ (m)}$$